Algebra lineare e geometria analitica vol.1
- ISBN/EAN
- 9788854846289
- Editore
- Aracne
- Formato
- Brossura
- Anno
- 2012
- Pagine
- 636
Disponibile
34,00 €
Con l’attivazione delle lauree triennali, i corsi universitari hanno subìto una notevole riduzione del numero di ore a disposizione per le lezioni ed esercitazioni. Questo libro, che trae origine dalle lezioni di Geometria e algebra lineare I che gli Autori hanno tenuto presso l’Università degli Studi di Torino, costituisce ora un testo completo che può essere anche utilizzato nelle Facoltà di Ingegneria, come pure nel Corso di Laurea in Matematica per lo studio della Geometria analitica nel piano e nello spazio e per tutte quelle parti di algebra lineare di base trattate in campo reale. Esso si presenta in due volumi di agevole consultazione: il primo dedicato alla parte teorica ed il secondo formato da una raccolta di esercizi, proposti con le relative soluzioni, per lo più tratti dai testi d’esame.
Maggiori Informazioni
| Autore | Abbena Elsa; Fino Anna Maria; Gianella Gian Mario |
|---|---|
| Editore | Aracne |
| Anno | 2012 |
| Tipologia | Libro |
| Num. Collana | 0 |
| Lingua | Italiano |
| Indice | Prefazione 1 1 Sistemi Lineari 3 1.1 Equazioni lineari .............................. 3 1.2 Sistemi lineari ............................... 4 1.2.1 Sistemi lineari omogenei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Matrici e Determinanti 19 2.1 Somma di matrici e prodotto di un numero reale per una matrice . . . . . 19 2.2 Il prodotto di matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 I sistemi lineari in notazione matriciale . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 La matrice inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 La trasposta di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 Matrici quadrate di tipo particolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6 Le equazioni matriciali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.6.1 Calcolo della matrice inversa, primo metodo . . . . . . . . . . . 34 2.7 La traccia di una matrice quadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.8 Il determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.8.1 I Teoremi di Laplace. Un’altra definizione di rango di una matrice 47 2.8.2 Calcolo della matrice inversa, secondo metodo . . . . . . . . . 50 2.8.3 Il Teorema di Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.9 Per saperne di più . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3 Calcolo Vettoriale 57 3.1 Definizione di vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 Somma di vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.3 Il prodotto di un numero reale per un vettore . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.4 Dipendenza lineare e basi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.5 Il cambiamento di base in V3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.6 Angolo tra due vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.7 Operazioni non lineari tra vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.7.1 Il prodotto scalare di due vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 iii INDICE 3.7.2 Il prodotto vettoriale di due vettori . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.7.3 Il prodotto misto di tre vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.8 Cambiamento di basi ortonormali in V3 e in V2 . . . . . . . . . . . . . . 99 3.9 Esercizi di riepilogo svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.10 Per saperne di più . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.10.1 Un’altra definizione di vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.10.2 Ulteriori proprietà delle operazioni tra vettori . . . . . . . . . . 107 4 Spazi Vettoriali e Sottospazi Vettoriali 111 4.1 Spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.2 Sottospazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.2.1 Definizione ed esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.2.2 Intersezione e somma di sottospazi vettoriali . . . . . . . . . . . 118 4.3 Generatori, basi e dimensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.3.1 Base di uno spazio vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.3.2 Basi e somma diretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.3.3 Rango di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.3.4 Il cambiamento di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.3.5 Iperpiani vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.4 Esercizi di riepilogo svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.5 Per saperne di più . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.5.1 Equazioni vettoriali e Teorema del Rango . . . . . . . . . . . . 158 4.5.2 Equivalenza tra due definizioni di rango di una matrice . . . . . 163 4.5.3 Spazi vettoriali complessi, matrici hermitiane e anti-hermitiane . 165 5 Spazi Vettoriali Euclidei 171 5.1 Definizione di prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.2 Norma di un vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.3 Basi ortonormali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.4 Il complemento ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.5 Esercizi di riepilogo svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5.5.1 Per saperne di più . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 5.5.2 Spazi vettoriali hermitiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 6 Applicazioni Lineari 201 6.1 Matrice associata ad un’applicazione lineare. Equazioni di un’applicazione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 6.2 Cambiamenti di base e applicazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . 211 6.3 Immagine e controimmagine di sottospazi vettoriali . . . . . . . . . . . 213 6.4 Operazioni tra applicazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 6.5 Sottospazi vettoriali invarianti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 6.6 Applicazione lineare aggiunta. Endomorfismi autoaggiunti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 6.7 Esercizi di riepilogo svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233INDICE iii 6.8 Per saperne di più . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 6.8.1 Forme lineari - dualità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 6.8.2 Cambiamento di base in V∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 6.8.3 Spazio vettoriale biduale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 6.8.4 Dualità nel caso degli spazi vettoriali euclidei . . . . . . . . . . 246 6.8.5 Trasposta di un’applicazione lineare . . . . . . . . . . . . . . . 247 6.8.6 Endomorfismi autoaggiunti e matrici hermitiane . . . . . . . . . 251 6.8.7 Isometrie, similitudini, trasformazioni unitarie . . . . . . . . . . 252 7 Diagonalizzazione 259 7.1 Autovalori e autovettori di un endomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . 259 7.2 Determinazione degli autovalori e degli autospazi . . . . . . . . . . . . . 263 7.3 Endomorfismi diagonalizzabili. Matrici diagonalizzabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 7.4 Il Teorema Spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 7.5 Esercizi di riepilogo svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 7.6 Per saperne di più . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 7.6.1 Diagonalizzazione simultanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 7.6.2 Il Teorema di Cayley–Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 7.6.3 Teorema spettrale e endomorfismi autoaggiunti. Caso complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 7.6.4 Autovalori delle isometrie, similitudini, trasformazioni unitarie . 292 8 Forme Bilineari e Forme Quadratiche 295 8.1 Forme bilineari simmetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 8.1.1 Matrice associata ad una forma bilineare simmetrica . . . . . . 298 8.2 Forme quadratiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 8.3 Nucleo e vettori isotropi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 8.4 Classificazione di una forma quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 8.5 Forme canoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 8.6 La segnatura di una forma quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 8.7 Esercizi di riepilogo svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 8.8 Per saperne di più . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 8.8.1 Forme bilineari simmetriche ed endomorfismi autoaggiunti . . . 340 8.8.2 Forme bilineari simmetriche e spazio vettoriale duale . . . . . . 343 8.8.3 Altri metodi di classificazione di una forma quadratica . . . . . 343 8.8.4 Il determinante come forma p-lineare . . . . . . . . . . . . . . 348 9 Geometria Analitica nel Piano 353 9.1 Il riferimento cartesiano, generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 9.1.1 Distanza tra due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 9.1.2 Punto medio di un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 9.1.3 Baricentro di un triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 9.2 Luoghi geometrici del piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356iv INDICE 9.3 Riferimento polare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 9.4 Traslazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 9.5 Simmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 9.5.1 Curva simmetrica rispetto all’asse delle ordinate . . . . . . . . . 364 9.5.2 Curva simmetrica rispetto all’asse delle ascisse . . . . . . . . . 365 9.5.3 Curva simmetrica rispetto all’origine . . . . . . . . . . . . . . . 365 9.6 Retta nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 9.6.1 Retta per un punto parallela ad un vettore . . . . . . . . . . . . 367 9.6.2 Retta per un punto ortogonale ad un vettore . . . . . . . . . . . 369 9.6.3 Retta per due punti distinti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 9.6.4 Rette particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 9.6.5 Il coefficiente angolare ed il suo legame con a,b, c . . . . . . . . 373 9.7 Parallelismo, ortogonalità, angoli e distanze . . . . . . . . . . . . . . . . 374 9.7.1 Condizione di parallelismo tra rette . . . . . . . . . . . . . . . 374 9.7.2 Condizione di perpendicolarità tra rette . . . . . . . . . . . . . 375 9.7.3 Angolo tra due rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 9.7.4 Posizione reciproca di due rette nel piano . . . . . . . . . . . . 377 9.7.5 Distanza di un punto da una retta . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 9.8 Fasci di rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 9.9 Esercizi di riepilogo svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 9.10 Per saperne di più . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 9.10.1 Rette immaginarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 10 Riduzione a Forma Canonica delle Coniche 389 10.1 La circonferenza nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 10.1.1 Posizione reciproca tra una retta e una circonferenza . . . . . . 391 10.1.2 Retta tangente ad una circonferenza in un suo punto . . . . . . . 392 10.1.3 Posizione reciproca di due circonferenze. Circonferenza per tre punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 10.1.4 Fasci di circonferenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 10.2 Le coniche: definizione e proprietà focali . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 10.2.1 L’ellisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 10.2.2 L’iperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 10.2.3 Iperbole equilatera riferita agli asintoti . . . . . . . . . . . . . . 414 10.2.4 La parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 10.2.5 Coniche e traslazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 10.3 Le coniche: luoghi geometrici di punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 10.4 Le coniche: equazioni di secondo grado, riduzione delle coniche in forma canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 10.5 Esercizi di riepilogo svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 10.6 Per saperne di più . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 10.6.1 Potenza di un punto rispetto ad una circonferenza . . . . . . . . 447 10.6.2 Equazioni parametriche delle coniche . . . . . . . . . . . . . . 449 10.6.3 Le coniche in forma polare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451INDICE v 10.6.4 Retta tangente ad una conica in un suo punto . . . . . . . . . . 452 11 Geometria Analitica nello Spazio 457 11.1 Il riferimento cartesiano nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 11.1.1 Distanza tra due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 11.1.2 Punto medio di un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 11.1.3 Baricentro di un triangolo e di un tetraedro . . . . . . . . . . . . 459 11.1.4 Area di un triangolo e volume di un tetraedro . . . . . . . . . . 459 11.2 Rappresentazione di un piano nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . 460 11.2.1 Piano per un punto ortogonale ad un vettore . . . . . . . . . . . 460 11.2.2 Piano per un punto parallelo a due vettori . . . . . . . . . . . . 462 11.2.3 Piano per tre punti non allineati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 11.3 Rappresentazione della retta nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 11.3.1 Retta per un punto parallela ad un vettore . . . . . . . . . . . . 466 11.3.2 Retta per due punti distinti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 11.3.3 Posizione reciproca di due piani. Retta come intersezione di due piani . . . . . . . . . . . . . . . 471 11.4 Posizioni reciproche tra rette e piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 11.4.1 Posizione reciproca di tre piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 11.4.2 Posizione reciproca tra retta e piano . . . . . . . . . . . . . . . 474 11.4.3 Posizione reciproca di due rette nello spazio . . . . . . . . . . . 477 11.5 Fasci di piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 11.6 Distanze e angoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 11.6.1 Distanza di un punto da un piano . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 11.6.2 Distanza di un punto da una retta . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 11.6.3 Minima distanza tra due rette sghembe. Perpendicolare comune a due rette sghembe . . . . . . . . . . . 484 11.6.4 Angolo tra due rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 11.6.5 Angolo tra retta e piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 11.6.6 Angolo tra due piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 11.7 Sfera e posizione reciproca con rette e piani . . . . . . . . . . . . . . . . 489 11.7.1 Sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 11.7.2 Posizione reciproca tra piano e sfera . . . . . . . . . . . . . . . 492 11.7.3 Posizione reciproca tra retta e sfera . . . . . . . . . . . . . . . . 493 11.8 La circonferenza nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 11.9 Posizione reciproca tra due sfere. Fasci di sfere . . . . . . . . . . . . . . 499 11.10 Coordinate sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 11.11 Esercizi di riepilogo svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 11.12 Per saperne di più . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 11.12.1 Baricentro geometrico di punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 11.12.2 Potenza di un punto rispetto ad una sfera . . . . . . . . . . . . . 519 11.12.3 Sfere in dimensione quattro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522vi INDICE 12 Coni, Cilindri, Superfici di Rotazione e Quadriche 525 12.1 Cenni sulla rappresentazione di curve e superfici . . . . . . . . . . . . . 525 12.2 Il cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 12.2.1 Cono tangente ad una sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535 12.2.2 Proiezione di una curva da un punto su un piano . . . . . . . . . 536 12.3 Il cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538 12.3.1 Cilindri con assi paralleli agli assi coordinati . . . . . . . . . . . 541 12.3.2 Cilindro circoscritto ad una sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . 546 12.3.3 Proiezione di una curva su un piano secondo una direzione assegnata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548 12.3.4 Coordinate cilindriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550 12.4 Superfici di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552 12.5 Cenni sulle superfici rigate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562 12.6 Quadriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564 12.6.1 Quadriche rigate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579 12.7 Esercizi di riepilogo svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588 12.8 Per saperne di più . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598 12.8.1 Piano tangente ad una quadrica in un suo punto . . . . . . . . . 598 Bibliografia 607 Indice dei simboli 609 Indice Analitico 613 |
| Disponibilità | Disponibilità: 3-5 gg |
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